Hahn-Banach Theorem; sublinear functional and mapping; Dax's Theorem

Hahn-Banachova věta se obvykle vyslovuje v rámci vektorového prostoru nad tělesem reálných čísel. Na protipříkladu ukážeme, že v rámci vektorového prostoru nad neúplným tělesem (například tělesem racionálních čísel) tvrzení Hahn-Banachovy věty obecně nemusí platit. Naším cílem je však ukázat, že pokud sublineární zobrazení vystupující v Hahn-Banachově větě je speciálního tvaru, potom její tvrzení lze dokázat i v mnohem obecnějším rámci dvou vektorových prostorů, z nichž jeden je lineárně uspořádaný, nad libovolným lineárně uspořádaným tělesem.

The Hahn-Banach Theorem is usually formulated in the context of a vector space over the field of real numbers. By the means of a counterexample, we show that, in the context of a vector space over an incomplete field (for example the field of rational numbers), the claim of the Hahn-Banach Theorem can not hold true in general. Our goal is to show that if the sublinear map, which appears in the Hahn-Banach theorem, is of a special form, then the claim can be proved in a more general context of two vector spaces over an arbitrary linearly ordered field, where one of those spaces is also linerly ordered.