Farkas' Lemma, Theorems of the alternative, Linear programming.

Formulujeme zobecněné Farkasovo lemma v nekonečněrozměrném reálném vektorovém prostoru. Poznamenáváme, že díky tomuto zobecnění lze odpovídajícím způsobem zobecnit také další věty o alternativě. Dále formulujeme primární a duální úlohu lineárního programování v nekonečněrozměrném reálném prostoru. Pro formulované úlohy platí princip duality. Zmiňujeme také případ, kdy počet lineárních forem ve Farkasově lemmatu resp. primární úloze LP je nekonečný. Ukazuje se, že lze dosáhnout obdobných výsledků, avšak je nutné pracovat se slabě* uzavřeným kuželovým obalem těchto forem.

We formulate a generalisation of Farkas' Lemma in an infinite-dimensional real vector space. We note that, using this generalisation, it is possible to generalise other theorems of the alternative as well. Next, we formulate the primal and dual problem of linear programming in an infinite-dimensional real vector space. The Duality Theorem holds for the formulated problems. We also mention the case when the number of linear forms in Farkas' Lemma or in the primal LP problem is infinite. It turns out that similar results can be achieved, but it is necessary to work with the weakly* closed conical hull of those forms.